第十九章 图像处理中的变分模型（1 / 2）

沈妍听到陈林的调侃也没有生气，反而是脸颊微微红了一下，但是很快就恢复了平静。

她从包里拿出手机，手指在屏幕上轻点几下，然后抬头看向陈林：「我给你传了个文件。「

陈林的手机震动了一下，他点开微信，看到沈妍发来的PDF文件。

打开一看，是沈妍自己学习研究课题时记的笔记，标题是《图像处理中的变分模型》。

密密麻麻的公式和推导，工整的字迹，还有不同颜色标注的重点。

陈林心里暗暗感叹，不愧是学霸，光看这笔记的认真程度，就知道人家平时是怎麽学习的了。

不过，没有具体的数学问题需要解决的时候，陈林看这些内容也没啥特别的感觉。

「小小数学家「的能力虽然强大，但也需要有明确的问题才能发挥作用。

不过陈林懂套路啊。

他不动声色地翻了几页，然后抬起头，用一种高深莫测的眼神看向沈妍，微微挑了挑眉毛。

那意思很明显：所以呢？你想问什麽？

沈妍被他这副装模作样的表情逗得差点笑出声，但还是忍住了。

她打开自己的笔记本电脑，调出同一个文件，熟练地翻到某一页。

「是这样的，「她一边操作一边解释道，「上次你帮我看完那个建模竞赛的新算法后，我给顾教授也过目了，他对我的表现很满意。「

陈林点点头，心想这不是理所当然的嘛。

「然后顾教授给了我这个图像处理中的变分模型的研究方向，让我在下学期开始前先自学相关的基础知识。「沈妍继续说道，「有几块内容不太理解，比较重要的是泛函分析部分的知识。「

她将电脑屏幕转向陈林，指着上面的内容：「这几块我反覆看了好多遍，还是不太能理解。「

陈林顺着她的手指看去，只见屏幕上赫然写着几个专业术语：

「Sobolev空间理论「

「Banach空间微积分「

「变分原理（极小化序列丶Palais-Smale条件）「

看到这些名词，陈林心里有点犯愁。

这些都是知识点没错，但问题是，如果没有具体的数学题目，「小小数学家「的能力也无从发挥啊。

「这些内容，「沈妍有些苦恼地说，「本来应该是下学期才会学的。我已经提前自学了一段时间，但还是有很多地方理解不透。「

陈林想了想，试探性地问道：「有没有相关的习题？我觉得通过解题来理解知识点，可能会更直观一些。「

沈妍眼睛一亮，仿佛遇到了知音：「我也是这麽想的！「

她赶紧在电脑上翻找起来：「我在网上找了一些相关的题目，正好涵盖了这三部分的知识。我本来做起来就很吃力，正好给你讲解用。「

陈林心里暗暗松了口气。

有题目就好办了，这下「小小数学家「终于有用武之地了。

很快，沈妍找到了题目文件，推到陈林面前：「你看，这些题目难度都不小。「

陈林定睛一看，第一题：

【设定义域Ω=(-1，1)??，给定函数 u(x)=|x|。

任务：

(a)验证 u∈ L2(Ω)，并求出其弱导数 u'∈ L1_loc(Ω)。

(b)对任意测试函数φ∈ C_c^∞(Ω)，验证等式：∫Ω uφ' dx =-∫Ω u'φ dx成立。】

第二题：

【设{u_n}? W^{1，p}(Ω)是柯西序列（其中 1 < p <∞），即满足：

当 m，n→∞时，||u_m - u_n||{W^{1，p}}→ 0。

证明：存在函数 u∈ W^{1，p}(Ω)，使得序列在 W^{1，p}范数下收敛于 u，即：

当 n→∞时，||u_n - u||{W^{1，p}}→ 0】

陈林快速浏览了一遍所有题目，发现数量还真不少。

他转头对沈妍说：「题目挺多的，一下午肯定做不完。要不这样，我们三块知识各挑几道典型的题目，边做边讲解？「

「好的。「沈妍点点头，显然早有心理准备。

陈林起身，很自然地坐到了沈妍旁边的位置上。

两人之间的距离瞬间拉近，陈林甚至能闻到她身上淡淡的清香味。

他从背包里拿出草稿本和笔。

「小小数学家「，被动触发！

瞬间，那种熟悉的感觉涌上心头。

数学知识在脑子里自动汇聚编排，自然形成一行行答案。

「我们从第一题开始。「陈林拿起笔，在草稿纸上写下题号。

「第一题的a小题，要验证函数属于L2空间，关键是计算它的L2范数。「

他一边说，一边在纸上写了起来：

「第一步：计算 u的 L2范数

||u||{L2(Ω)}2=∫{-1}^{1}|x|2 dx「

沈妍认真地看着他的推导，不时点头。

「注意这里，「陈林用笔尖点了点纸面，「因为|x|是偶函数，所以我们可以利用对称性简化计算。「

「||u||{L2(Ω)}2

=∫{-1}^{1}|x|2 dx